3.- PROBABILIDAD
¿Que significa el termino probabilidad? La
probabilidad es la posibilidad o la oportunidad de que ocurra un evento
especifico. Podría referirse a la oportunidad que salga una carta roja en un
juego de baraja o la posibilidad que un individuo prefiera un producto sobre
otro.
Este enfoque se le llama probabilidad clásica
y se calcula con la siguiente formula:
Probabilidad de ocurrencia= X
T
X= Numero de veces que ocurre el evento que
se observa.
T= Cantidad Total de resultados posibles.
3.1 CONCEPTOS
PRELIMINARES Y DEFINICIONES DE PROBABILIDAD
FENOMENOS
ALEATORIOS:
Una de las principales razones para la
existencia de la teoría de la probabilidad y de la inferencia estadística es la
presencia en casi cualquier aspecto de la vida de fenómenos aleatorios. Un
fenómeno es aleatorio si factores fortuitos determinan su ocurrencia, en otras
palabras el resultado se presenta al azar, sin intención, plan o elección.
Todos los posibles resultados pueden conocerse de antemano pero el resultado
particular de un solo ensayo de cualquier operación experimental no puede
determinarse previamente.
Fracción de probabilidad:
Es cada uno de los posibles resultados que se
le puede asignar a los fenómenos aleatorios.
Espacio maestral:
El espacio muestral de un experimento es el
conjunto de todos los posibles resultados distintos del experimento.
Experimento:
Es algún proceso u operación que lleva a
resultados bien definidos.
Resultado del ensayo:
Es lo que se obtiene en un solo ensayo de un
experimento. Un ensayo es un acto que lleva a uno de los posibles distintos
resultados del experimento.
Ejemplo.
Si se realiza un experimento de arrojar 3
monedas para determinar cuantas caras y sellos o sol ocurren se tiene la
secuencia de 3 monedas como un resultado individual. Estime el conjunto de
todos los posibles resultados distintos de este experimento.
U= (S, S, S)
U= (S, S, C)
U=(S, C, S)
U= (C, S, S)
U= (C, C, S)
U= (C, C, C)
U= (S, C, C)
U= (C, S, C)
Las placas de matricula para automóviles
emitidas por cierto Estado tiene 3 dígitos y 3 letras. Una compañía fabricante
de automóviles esta realizando una campana de ventas de 4 semanas para atraer
posibles compradores para sus distribuidores en ese estado. Se selecciona
aleatoriamente un número de placa y el número se fija en la sala de exhibición
de cada distribuidor. La persona por cuyo numero de placa de matricula coincida
con el numero extraído ganara un automóvil nuevo. ¿Cual es la probabilidad de
que usted gane el nuevo automóvil si ya posee 3 automóviles registrados en ese
Estado?
P= (3)
Combinaciones:
En unos problemas de probabilidad el interés
radica no en arreglos ordenados sino en el numero de formas en que n objetos
puede seleccionarse puede seleccionarse de un conjunto de N objetos sin
importar el orden, se denomina numero de combinaciones de r objetos tomados de
N objetos. Una combinación es únicamente un subconjunto de V objetos a partir
del conjunto de N objetos.
Denótese Cr= Numero de combinaciones de r
objetos seleccionados de un conjunto de N objetos y se calcula y se calcula de
la siguiente manera.
Cr
= n! = n(n-1)
(n-2)(n-r+1)
(n-r) [r] v!
Supóngase que 10 personas son candidatas para
la mesa directiva de cierto distrito escolar. Deben elegirse 3 componentes para
la mesa directiva. De cuantas formas pueden seleccionarse 3 personas de entre
los 10 candidatos?
Cr= 120
formas
En una clase de estadística consta de 20
estudiantes de cuantas formas pueden seleccionarse un comité de 3 estudiantes.
Cr= 1140
formas
Permutaciones:
Una permutación es un arreglo ordenado se
refiere a cualesquier de las formas en la cual se arreglan distintos objetos.
Si se tiene un conjunto de N objetos el numero de arreglos ordenados de objetos
dependerá de n, numero de objetos al seleccionar y arreglar y se calcula con la
siguiente formula.
Pr= n ( n-1)
(n-2)…(n-r+1)
Si se seleccionan 3 estudiantes en un clase
de 20 y si les van a otorgar 3 distintos premios de cuantas formas puede
hacerse eso.
Pr= 6840
Se otorgan 3 premios diferentes y hay 6
concursantes
a)
De
cuantas formas pueden otorgarse los premios. Cr= 20
b)
De
cuantas formas pueden otorgarse 6 premios a los concursantes.
Pr=
720
Un club deportivo consta de 20 miembros de cuantas formas
pueden seleccionarse 3 directivos, 3 presidentes, 3 vicepresidentes, 3
secretarios.
Pr= 6840
3.2 LEYES DE
PROBABILIDAD
El estadio de la Probabilidad se simplifica utilizando la
Teoría de Conjuntos, por lo tanto, analizaremos algunas ideas básicas de esta
teoría.
Un conjunto es un grupo de objetos definidos y bien
diferenciados por ejemplo:
·
Un
grupo de estudiantes de la materia de Biología
·
Un
juego de cartas
Conjunto
Universo o Universal (U):
Es el conjunto que contiene a todos los elementos.
Conjunto Vacío
(0/): Es un conjunto que no contiende a ningún
elemento.
Pertenencia
(E): Indica que un elemento pertenece a un conjunto.
No pertenencia
(E): Indica que un elemento no pertenece a un
conjunto determinado.
Subconjunto: Se dice que un conjunto A es subconjunto de
B, cuando todos los elementos de A pertenecen a B.
Unión (U): La unión de dos conjuntos A y B, es el conjunto de
elementos que están en A, en B o en ambos.
Intersección (U
inversa): La intersección de dos conjuntos A y B, es el
conjunto de elementos que están en A y B simultáneamente.
3.3 DISTRIBUCIÓN
DE PROBABILIDADES
Una
distribución de probabilidad indica toda la gama de valores que pueden
representarse como resultado de un experimento si éste se llevase a cabo. Es
decir, describe la probabilidad de que un evento se realice en el futuro,
constituye una herramienta fundamental para la prospectiva, puesto que se puede
diseñar un escenario de acontecimientos futuros considerando las tendencias
actuales de diversos fenómenos naturales
Toda distribución de probabilidad es generada
por una variable (porque puede tomar diferentes valores) aleatoria x (porque el
valor tomado es totalmente al azar), y puede ser de dos tipos:
Método Clásico.
Es cuando se usa la suposición de resultados
igualmente probables como una base para asignar probabilidades. Si un
experimento tiene n resultados posibles el método clásico asigna una
probabilidad de 1/n a cada resultado experimental.
El método clásico fue elaborado para analizar probabilidades en los juegos de
azar donde la suposición de resultados igualmente probables frecuente es razonable.
Probabilidad.
1/6=0.1666
La probabilidad de obtener un número particular en el lanzamiento de un dado es
0.1666
Método Subjetivo.
Es utilizado para asignar probabilidades
apropiando cuando no supone de manera realista que todos los resultados
experimentales son iguales probables y cuando se dispone de pocos datos
relevantes.
PROBABILIDAD
CLASICA
P (E)= m/N
m= Formas
N= Eventos
P(E)= 1/6
Frecuencia
relativa:
Es la probabilidad de observar un evento en
base a número de ensayos o eventos y la frecuencia entre el número de veces de
un evento.
Numero de ensayos/ Numero de eventos
Numero de ensayos: 1,2, 4,5 (Cuantas veces se
tira)
Numero de eventos: (s,c)
La frecuencia relativa de cada posible evento
es un número entre 0 y 1
Frecuencia relativa: 326/1000
Variable
aleatoria:
Se dice que es aleatoria si los posibles
valores que pueda tomar son determinados por el azar.
Ejemplo: En una epidemia de influenza, se
sabe que una persona cualesquiera puede enfermarse o no (eventos o posibles
resultados) pero no se sabe si se enfermara. Solamente se puede decir que
existe una probabilidad de que se enferme.
Variable
aleatoria discreta:
Resulta de contar el número de veces que
ocurre un evento.
X: Numero de personas que presentan la
enfermedad
Variable aleatoria continua: Resultado es un
número que indica la cantidad del atributo que posee cada persona.
X: Cantidad de colesterol en plasma
DISTRIBUCION
DE BERNOULLI
Es
una distribución de probabilidad discreta que mide el número de éxitos en una
secuencia de n ensayos de Bernoulli independientes entre sí, con una probabilidad
fija p de ocurrencia del éxito entre los ensayos.
Un
experimento de Bernoulli se caracteriza por ser dicotómico, esto es, sólo son
posibles dos resultados. A uno de estos se denomina éxito y tiene una
probabilidad de ocurrencia p y al otro, fracaso, con una probabilidad q = 1 -
p. En la distribución binomial el anterior experimento se repite n veces, de
forma independiente, y se trata de calcular la probabilidad de un determinado
número de éxitos. Para n = 1, la binomial se convierte, de hecho, en una
distribución de Bernoulli.
Para
representar que una variable aleatoria X sigue una distribución binomial de
parámetros n y p, se escribe:
Dónde:
P(X)= es la probabilidad de ocurrencia
del evento
p = es la probabilidad de éxito del evento
(en un intento)
q = es la probabilidad de fracaso del evento
(en un intento) (se define como q = 1– p )
X = ocurrencia del evento o éxitos deseados
n = número de intentos
Ejemplo:
X= Numero de éxitos en un ensayo (n=1)
P(x)=p (1-p) P= Probabilidad de éxitos
X= Numero de casos de tifoidea en una muestra
de tamaño 1.
P: Prevalencia de la tifoidea en la población
DISTRIBUCION
BINOMIAL
La distribución Binomial es un caso
particular de probabilidad de variable aleatoria discreta, y por sus
aplicaciones, es posiblemente la más importante. Esta distribución corresponde
a la realización de un experimento aleatorio que cumple con las siguientes
condiciones:
* Al realizar el experimento sólo son posible
dos resultados: el suceso A, llamado éxito, y el suceso B, llamado fracaso.
* Al repetir el experimento, el resultado
obtenido es independiente de los resultados obtenidos anteriormente.
* La probabilidad del suceso A es constante,
es decir, no varía de una prueba del experimento a otra.
* En cada experimento se realizan n pruebas
idénticas.
Todo experimento que tenga estas
características se dice que sigue el modelo de la distribución Binomial o
distribución de Bernoulli.
Dónde:
P(X)= es la probabilidad de ocurrencia del
evento
p = es la probabilidad de éxito del evento
(en un intento)
q = es la probabilidad de fracaso del evento
(en un intento) (se define como q = 1 – p )
X = ocurrencia del evento o éxitos deseados
n = número de intentos
La probabilidad de un articulo sea defectuoso
en un proceso de manufactura es de 0.06. Cuales son las respectivas
probabilidades de que 0, 1, 2, 3, 4, 5 artículos sean defectuosos de una
muestra al azar de 5 artículos extraídos del proceso.
P= 0.06 (fracaso)
n= 5
q= 0.94 (1-p) (éxito)
DISTRIBUCIÓN
DE POISSON
La distribución de POISSON es también un caso
particular de probabilidad de variable aleatoria discreta, el cual debe su
nombre a Siméon Denis Poisson (1781-1840), un francés que la desarrolló a
partir de los estudios que realizó durante la última etapa de su vida.
Es útil cuando tratamos con cantidades de
ocurrencia de un evento a lo largo de un intervalo de tiempo o espacio
especificado.
Esta distribución se utiliza para describir
ciertos procesos.
Características:
En este tipo de experimentos los éxitos
buscados son expresados por unidad de área, tiempo, pieza, etc:
- # de defectos de una tela por m2
- # de aviones que aterrizan en un aeropuerto
por día, hora, minuto, etc.
- # de bacterias por cm2 de cultivo
- # de llamadas telefónicas a un conmutador
por hora, minuto, etc, etc.
- # de llegadas de embarcaciones a un puerto
por día, mes, etc, etc.
Para determinar la probabilidad de que
ocurran x éxitos por unidad de tiempo, área, o producto, la fórmula a utilizar
sería:
Donde:
p(X) = probabilidad de que ocurran x éxitos, cuando el número promedio de
ocurrencia de ellos es /
/= media o promedio de éxitos por unidad de tiempo, área o producto
e = 2.718 (base de logaritmo neperiano o natural)
X = variable que nos denota el número de éxitos que se desea que ocurra
Hay que hacer notar que en esta distribución el número de éxitos que ocurren
por unidad de tiempo, área o producto es totalmente al azar y que cada
intervalo de tiempo es independiente de otro intervalo dado, así como cada área
es independiente de otra área dada y cada producto es independiente de otro
producto dado.
3 .4 MODELO DE
DISTRIBUCION NORMAL
DISTRIBUCIÓN NORMAL
La distribución normal es también un caso
particular de probabilidad de variable aleatoria continua, fue reconocida por
primera vez por el francés Abraham de Moivre (1667-1754). Posteriormente, Carl
Friedrich Gauss (1777-1855) elaboró desarrollos más profundos y formuló la
ecuación de la curva; de ahí que también se le conozca, más comúnmente, como la
"campana de Gauss". La distribución de una variable normal está
completamente determinada por dos parámetros, su media (µ) y su desviación
estándar (963;). Con esta notación, la densidad de la normal viene dada por la
ecuación:
