3.- PROBABILIDAD

¿Que significa el termino probabilidad? La probabilidad es la posibilidad o la oportunidad de que ocurra un evento especifico. Podría referirse a la oportunidad que salga una carta roja en un juego de baraja o la posibilidad que un individuo prefiera un producto sobre otro.

Este enfoque se le llama probabilidad clásica y se calcula con la siguiente formula:

Probabilidad de ocurrencia= X

                                              T

X= Numero de veces que ocurre el evento que se observa.

T= Cantidad Total de resultados posibles.

3.1 CONCEPTOS PRELIMINARES Y DEFINICIONES DE PROBABILIDAD

FENOMENOS ALEATORIOS:

Una de las principales razones para la existencia de la teoría de la probabilidad y de la inferencia estadística es la presencia en casi cualquier aspecto de la vida de fenómenos aleatorios. Un fenómeno es aleatorio si factores fortuitos determinan su ocurrencia, en otras palabras el resultado se presenta al azar, sin intención, plan o elección. Todos los posibles resultados pueden conocerse de antemano pero el resultado particular de un solo ensayo de cualquier operación experimental no puede determinarse previamente.

Fracción de probabilidad:

Es cada uno de los posibles resultados que se le puede asignar a los fenómenos aleatorios.

Espacio maestral:

El espacio muestral de un experimento es el conjunto de todos los posibles resultados distintos del experimento.

Experimento:

Es algún proceso u operación que lleva a resultados bien definidos.

Resultado del ensayo:

Es lo que se obtiene en un solo ensayo de un experimento. Un ensayo es un acto que lleva a uno de los posibles distintos resultados del experimento.

Ejemplo.

Si se realiza un experimento de arrojar 3 monedas para determinar cuantas caras y sellos o sol ocurren se tiene la secuencia de 3 monedas como un resultado individual. Estime el conjunto de todos los posibles resultados distintos de este experimento.

U= (S, S, S)

U= (S, S, C)

U=(S, C, S)

U= (C, S, S)

U= (C, C, S)

U= (C, C, C)

U= (S, C, C)

U= (C, S, C)

Las placas de matricula para automóviles emitidas por cierto Estado tiene 3 dígitos y 3 letras. Una compañía fabricante de automóviles esta realizando una campana de ventas de 4 semanas para atraer posibles compradores para sus distribuidores en ese estado. Se selecciona aleatoriamente un número de placa y el número se fija en la sala de exhibición de cada distribuidor. La persona por cuyo numero de placa de matricula coincida con el numero extraído ganara un automóvil nuevo. ¿Cual es la probabilidad de que usted gane el nuevo automóvil si ya posee 3 automóviles registrados en ese Estado?

P= (3)

Combinaciones:

En unos problemas de probabilidad el interés radica no en arreglos ordenados sino en el numero de formas en que n objetos puede seleccionarse puede seleccionarse de un conjunto de N objetos sin importar el orden, se denomina numero de combinaciones de r objetos tomados de N objetos. Una combinación es únicamente un subconjunto de V objetos a partir del conjunto de N objetos.

Denótese Cr= Numero de combinaciones de r objetos seleccionados de un conjunto de N objetos y se calcula y se calcula de la siguiente manera.

Cr =       n!    =    n(n-1) (n-2)(n-r+1)

             (n-r) [r]           v!

Supóngase que 10 personas son candidatas para la mesa directiva de cierto distrito escolar. Deben elegirse 3 componentes para la mesa directiva. De cuantas formas pueden seleccionarse 3 personas de entre los 10 candidatos?

Cr= 120 formas

En una clase de estadística consta de 20 estudiantes de cuantas formas pueden seleccionarse un comité de 3 estudiantes.

Cr= 1140 formas

Permutaciones:

Una permutación es un arreglo ordenado se refiere a cualesquier de las formas en la cual se arreglan distintos objetos. Si se tiene un conjunto de N objetos el numero de arreglos ordenados de objetos dependerá de n, numero de objetos al seleccionar y arreglar y se calcula con la siguiente formula.

Pr= n ( n-1)  (n-2)…(n-r+1)

Si se seleccionan 3 estudiantes en un clase de 20 y si les van a otorgar 3 distintos premios de cuantas formas puede hacerse eso.

Pr= 6840

Se otorgan 3 premios diferentes y hay 6 concursantes

a)    De cuantas formas pueden otorgarse los premios. Cr= 20

b)    De cuantas formas pueden otorgarse 6 premios a los concursantes.

Pr= 720

Un club deportivo consta de 20 miembros de cuantas formas pueden seleccionarse 3 directivos, 3 presidentes, 3 vicepresidentes, 3 secretarios.

Pr= 6840

3.2 LEYES DE PROBABILIDAD

El estadio de la Probabilidad se simplifica utilizando la Teoría de Conjuntos, por lo tanto, analizaremos algunas ideas básicas de esta teoría.

Un conjunto es un grupo de objetos definidos y bien diferenciados por ejemplo:

·         Un grupo de estudiantes de la materia de Biología

·         Un juego de cartas

Conjunto Universo o Universal (U): Es el conjunto que contiene a todos los elementos.

Conjunto Vacío (0/): Es un conjunto que no contiende a ningún elemento.

Pertenencia (E): Indica que un elemento pertenece a un conjunto.

No pertenencia (E): Indica que un elemento no pertenece a un conjunto determinado.

Subconjunto: Se dice que un conjunto A es subconjunto de B, cuando todos los elementos de A pertenecen a B.

Unión (U): La unión de dos conjuntos A y B, es el conjunto de elementos que están en A, en B o en ambos.

Intersección (U inversa): La intersección de dos conjuntos A y B, es el conjunto de elementos que están en A y B simultáneamente.

3.3 DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES

Una distribución de probabilidad indica toda la gama de valores que pueden representarse como resultado de un experimento si éste se llevase a cabo. Es decir, describe la probabilidad de que un evento se realice en el futuro, constituye una herramienta fundamental para la prospectiva, puesto que se puede diseñar un escenario de acontecimientos futuros considerando las tendencias actuales de diversos fenómenos naturales

 Toda distribución de probabilidad es generada por una variable (porque puede tomar diferentes valores) aleatoria x (porque el valor tomado es totalmente al azar), y puede ser de dos tipos:

Método Clásico.

Es cuando se usa la suposición de resultados igualmente probables como una base para asignar probabilidades. Si un experimento tiene n resultados posibles el método clásico asigna una probabilidad de 1/n a cada resultado experimental.

El método clásico fue elaborado para analizar probabilidades en los juegos de azar donde la suposición de resultados igualmente probables frecuente es razonable.

Probabilidad.

1/6=0.1666

La probabilidad de obtener un número particular en el lanzamiento de un dado es 0.1666

Método Subjetivo.

Es utilizado para asignar probabilidades apropiando cuando no supone de manera realista que todos los resultados experimentales son iguales probables y cuando se dispone de pocos datos relevantes.

PROBABILIDAD CLASICA

P (E)= m/N

m= Formas

N= Eventos

P(E)= 1/6     

Frecuencia relativa:

Es la probabilidad de observar un evento en base a número de ensayos o eventos y la frecuencia entre el número de veces de un evento.

Numero de ensayos/ Numero de eventos

Numero de ensayos: 1,2, 4,5 (Cuantas veces se tira)

Numero de eventos: (s,c)

La frecuencia relativa de cada posible evento es un número entre 0 y 1

Frecuencia relativa: 326/1000

Variable aleatoria:

Se dice que es aleatoria si los posibles valores que pueda tomar son determinados por el azar.

Ejemplo: En una epidemia de influenza, se sabe que una persona cualesquiera puede enfermarse o no (eventos o posibles resultados) pero no se sabe si se enfermara. Solamente se puede decir que existe una probabilidad de que se enferme.

Variable aleatoria discreta:

Resulta de contar el número de veces que ocurre un evento.

X: Numero de personas que presentan la enfermedad

Variable aleatoria continua: Resultado es un número que indica la cantidad del atributo que posee cada persona.

X: Cantidad de colesterol en plasma

DISTRIBUCION DE BERNOULLI

Es una distribución de probabilidad discreta que mide el número de éxitos en una secuencia de n ensayos de Bernoulli independientes entre sí, con una probabilidad fija p de ocurrencia del éxito entre los ensayos.

Un experimento de Bernoulli se caracteriza por ser dicotómico, esto es, sólo son posibles dos resultados. A uno de estos se denomina éxito y tiene una probabilidad de ocurrencia p y al otro, fracaso, con una probabilidad q = 1 - p. En la distribución binomial el anterior experimento se repite n veces, de forma independiente, y se trata de calcular la probabilidad de un determinado número de éxitos. Para n = 1, la binomial se convierte, de hecho, en una distribución de Bernoulli.

Para representar que una variable aleatoria X sigue una distribución binomial de parámetros n y p, se escribe:
 

Dónde:

P(X)= es la probabilidad de ocurrencia del  evento

p = es la probabilidad de éxito del evento (en un intento)

q = es la probabilidad de fracaso del evento (en un intento) (se define como q = 1– p )

X = ocurrencia del evento o éxitos deseados

n = número de intentos

Ejemplo:

X= Numero de éxitos en un ensayo (n=1)

P(x)=p (1-p)            P= Probabilidad de éxitos

X= Numero de casos de tifoidea en una muestra de tamaño 1.

P: Prevalencia de la tifoidea en la población

DISTRIBUCION BINOMIAL  

La distribución Binomial es un caso particular de probabilidad de variable aleatoria discreta, y por sus aplicaciones, es posiblemente la más importante. Esta distribución corresponde a la realización de un experimento aleatorio que cumple con las siguientes condiciones:

* Al realizar el experimento sólo son posible dos resultados: el suceso A, llamado éxito, y el suceso B, llamado fracaso.

* Al repetir el experimento, el resultado obtenido es independiente de los resultados obtenidos anteriormente.

* La probabilidad del suceso A es constante, es decir, no varía de una prueba del experimento a otra.

* En cada experimento se realizan n pruebas idénticas.

Todo experimento que tenga estas características se dice que sigue el modelo de la distribución Binomial o distribución de Bernoulli.

Dónde:

P(X)= es la probabilidad de ocurrencia del evento

p = es la probabilidad de éxito del evento (en un intento)

q = es la probabilidad de fracaso del evento (en un intento) (se define como q = 1 – p )

X = ocurrencia del evento o éxitos deseados

n = número de intentos

La probabilidad de un articulo sea defectuoso en un proceso de manufactura es de 0.06. Cuales son las respectivas probabilidades de que 0, 1, 2, 3, 4, 5 artículos sean defectuosos de una muestra al azar de 5 artículos extraídos del proceso.

P= 0.06 (fracaso)

n= 5

q= 0.94 (1-p) (éxito)

 DISTRIBUCIÓN DE POISSON

La distribución de POISSON es también un caso particular de probabilidad de variable aleatoria discreta, el cual debe su nombre a Siméon Denis Poisson (1781-1840), un francés que la desarrolló a partir de los estudios que realizó durante la última etapa de su vida.

Es útil cuando tratamos con cantidades de ocurrencia de un evento a lo largo de un intervalo de tiempo o espacio especificado.

Esta distribución se utiliza para describir ciertos procesos.

Características:

En este tipo de experimentos los éxitos buscados son expresados por unidad de área, tiempo, pieza, etc:

- # de defectos de una tela por m2

- # de aviones que aterrizan en un aeropuerto por día, hora, minuto, etc.

- # de bacterias por cm2 de cultivo

- # de llamadas telefónicas a un conmutador por hora, minuto, etc, etc.

- # de llegadas de embarcaciones a un puerto por día, mes, etc, etc.

Para determinar la probabilidad de que ocurran x éxitos por unidad de tiempo, área, o producto, la fórmula a utilizar sería:

Donde:
p(X) = probabilidad de que ocurran x éxitos, cuando el número promedio de ocurrencia de ellos es /
/= media o promedio de éxitos por unidad de tiempo, área o producto
e = 2.718 (base de logaritmo neperiano o natural)
X = variable que nos denota el número de éxitos que se desea que ocurra

Hay que hacer notar que en esta distribución el número de éxitos que ocurren por unidad de tiempo, área o producto es totalmente al azar y que cada intervalo de tiempo es independiente de otro intervalo dado, así como cada área es independiente de otra área dada y cada producto es independiente de otro producto dado.

3 .4 MODELO DE DISTRIBUCION NORMAL

DISTRIBUCIÓN NORMAL

La distribución normal es también un caso particular de probabilidad de variable aleatoria continua, fue reconocida por primera vez por el francés Abraham de Moivre (1667-1754). Posteriormente, Carl Friedrich Gauss (1777-1855) elaboró desarrollos más profundos y formuló la ecuación de la curva; de ahí que también se le conozca, más comúnmente, como la "campana de Gauss". La distribución de una variable normal está completamente determinada por dos parámetros, su media (µ) y su desviación estándar (963;). Con esta notación, la densidad de la normal viene dada por la ecuación: